Du har säkert sett ett minustecken på en termometer och undrat var talet egentligen hör hemma i matten. Här reder vi ut vad ett heltal är, hur det skiljer sig från naturliga tal och varför decimaltal hamnar utanför, med en enkel fråga som avgör de flesta fall.
Talmängd: ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} (Matteboken (gymnasiet, talmängder)) · Heltal mellan -3 och 3: 7 tal: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (Nationalencyklopedin (svenskt uppslagsverk)) · Decimaltal som inte är heltal: 0,1 och 0,5 (Matteboken (högstadiet, decimaltal)) · Bråkform av 0,3: 3/10 (inte heltal), enligt Matteboken (gymnasiet, talmängder)
Snabböversikt
- Alla naturliga tal är heltal, men inte alla heltal är naturliga tal (Eddler (skolresurs))
- Tal med decimaltecken, till exempel 1,5, är inte heltal (Allakando (läromedelsguide))
- Om noll räknas som naturligt tal varierar källorna (Wikipedia (svenska, uppslagsverk))
- Enligt Allakando (läromedelsguide) började noll räknas som naturligt tal mot slutet av 1800-talet, men exakt år saknas (Wikipedia (svenska, uppslagsverk))
- Heltal introducerades för att möjliggöra subtraktion utan begränsning, eftersom naturliga tal inte alltid ger ett naturligt tal (Mathleaks (övningsbank för skolan))
- Vardagsexemplet 8 °C som sjunker 12 grader landar på −4 °C, enligt Mathleaks (övningsbank för skolan) (Mathleaks (övningsbank för skolan))
- Irrationella tal som π och √2 kan inte skrivas som kvoten av två heltal, enligt Eddler (skolresurs) (Mathquizily (ordlista))
- Enligt Mathquizily (ordlista) kallas positiva heltal utan decimaler ibland naturliga tal, beroende på om noll räknas med (Mathquizily (ordlista))
Sju rader sammanfattar mönstret, och ett enda test avgör de flesta fall: har talet en decimaldel?
| Begrepp | Värde |
|---|---|
| Talmängd | ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} |
| Heltal mellan -3 och 3 | 7 tal: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 |
| Decimaltal som inte är heltal | 0,1 och 0,5 |
| Bråkform av 0,3 | 3/10 (inte heltal) |
| Symbol för naturliga tal | ℕ (N) |
| Symbol för rationella tal | ℚ (Q) |
| Decimaltecken i Sverige | kommatecken |
Vad är skillnaden mellan heltal och naturliga tal?
Naturliga tal används för att ange hur många eller hur mycket av något det finns, enligt Matteboken (högstadiet, decimaltal). Mängden betecknas N eller ℕ, och Nationalencyklopedin (uppslagsverk, naturliga tal) noterar att talet 0 ibland inte räknas med.
Heltalen är större än så: de innehåller de naturliga talen, deras negativa motsvarigheter och noll. Matweb.cz (matematikordlista) anger att heltalen är slutna under addition, subtraktion och multiplikation men inte under division, och det är den egenskapen som gör dem användbara när en uträkning går under noll.
Vad är en talmängd?
- Heltalsmängden skrivs ℤ, och symbolen beskrivs i Matteboken (gymnasiet, talmängder).
- ℤ innehåller de naturliga talen, deras negativa motsvarigheter och noll, enligt Nationalencyklopedin (svenskt uppslagsverk).
- Varje naturligt tal är ett heltal, enligt Eddler (skolresurs).
Vad är reella tal?
- Symbolen ℚ står för de rationella talen, som innehåller både heltal och bråk, enligt Matteboken (gymnasiet, talmängder).
- Irrationella tal som π och √2 kan inte skrivas som kvoten av två heltal, och tillsammans med rationella tal bildar de de reella talen, enligt Eddler (skolresurs).
Så snart en uträkning tillåter minus lämnar de naturliga talen spelet, och det är därför heltalen finns (Matteguiden (läroboksguide)). Den som bara räknar med naturliga tal stöter på uträkningar som saknar svar i den mängden.
Konsekvensen: varje heltal är rationellt, men bråk som 1/2 når aldrig in i ℤ, så mängderna har en tydlig ordning.
Vad räknas som heltal?
Regeln är enkel: ett tal är ett heltal om det saknar decimaldel. Enligt Matteguiden (läroboksguide) är heltal tal utan decimaler, och både negativa och positiva tal ingår.
Ett decimaltal delas upp i en heltalsdel och en decimaldel med hjälp av decimaltecknet, enligt Matteboken (högstadiet, decimaltal), så ett tal med kommatecken har en decimaldel.
Är 7 ett heltal?
- Ja. 7 saknar decimaldel och är ett positivt heltal, som enligt Mathquizily (ordlista) ibland kallas naturligt tal.
- Samma gäller 10 och −3, som saknar decimaldel, enligt Matweb.cz (matematikordlista).
Är 0,1 ett heltal?
- Nej. 0,1 har en decimaldel, och 0,5 faller på samma sätt. Allakando (läromedelsguide) noterar att tal som 1,5 inte är heltal.
- Noll och negativa tal är däremot heltal, eftersom 0 saknar decimaldel, enligt Nationalencyklopedin (svenskt uppslagsverk).
Ett tal som 0,5 ser ut som ett vanligt tal men faller utanför heltalsmängden, så kontrollen måste göras varje gång. Svensk läroboksbegreppslista skiljer hela tal från tal med decimaldel (Matematikabg (begreppslista för läroboken)).
Mönstret: frågan är inte hur stort talet är, utan om det har en decimaldel.
Är 0,5 ett naturligt tal?
Nej. 0,5 är ett decimaltal, och naturliga tal är de tal som används för att ange hur många eller hur mycket av något det finns, enligt Matteboken (högstadiet, decimaltal). Ett halvt äpple går inte att räkna som ett helt naturligt tal.
Samtidigt är 0,5 ett rationellt tal, eftersom ett ändligt decimaltal kan skrivas som bråk: 0,5 = 1/2, enligt Matteboken (gymnasiet, talmängder).
Vad är 0,3 i bråkform?
- Ett ändligt decimaltal kan skrivas som bråk, så 0,3 blir 3/10, enligt Matteboken (gymnasiet, talmängder).
- Upprepade mönster är också rationella, till exempel 0,333… = 1/3, enligt Mathleaks (övningsbank för skolan).
Är 10 ett tal?
- Ja. 10 är ett tal, ett naturligt tal och ett heltal, eftersom alla naturliga tal är heltal, enligt Eddler (skolresurs).
Det praktiska utfallet: när ett tal har en decimaldel ligger det mellan två heltal, och då räcker det att kontrollera just det.
Bekräftade fakta och vad som är oklart
Bekräftade fakta
- Heltal är tal utan decimaldel och omfattar naturliga tal, negativa tal och noll, enligt Nationalencyklopedin (svenskt uppslagsverk).
- Varje naturligt tal är ett heltal, men inte alla heltal är naturliga, enligt Eddler (skolresurs).
- 0,1 och 0,5 är inte heltal, eftersom de har en decimaldel, enligt Matteboken (högstadiet, decimaltal).
Vad som är oklart
- Om noll räknas som naturligt tal varierar källorna, och Wikipedia (svenska, uppslagsverk) noterar att det ofta sker i svensk skola.
- Enligt Allakando (läromedelsguide) började noll räknas som naturligt tal först mot slutet av 1800-talet, men exakt år är inte verifierat.
- Positiva heltal kallas ibland naturliga tal, men definitionen skiftar beroende på om noll tas med, enligt Mathquizily (ordlista).
- Vilken konvention din lärobok använder för noll framgår inte av de källor som granskats.
Osäkerheten gäller nästan enbart noll, så resten av regelverket kan du använda utan att räkna med en ny tolkning.
Vad källorna säger
”Heltalen har egenskapen att summan, skillnaden och produkten av två heltal alltid är ett heltal.”
— Nationalencyklopedin (svenskt uppslagsverk)
”Alla naturliga tal är heltal, men inte alla heltal är naturliga tal, nämligen de negativa talen.”
”Ett decimaltal är med hjälp av ett decimaltecken uppdelat i en heltalsdel och en decimaldel.”
— Matteboken (högstadiet, decimaltal)
Frågan om decimaldel avgör mer än de andra egenskaperna, eftersom både negativa tal och noll klarar testet. För elever som räknar på prov är konsekvensen klar: ställ frågan om decimaldel innan du svarar, så slipper du gissa på gränsfall som 0,5 eller noll.
Relaterad läsning: Vad är en roman? – Definition, kännetecken och vanliga frågor
Vanliga frågor
Är noll ett heltal?
Ja. Heltalen omfattar naturliga tal, negativa tal och noll, enligt Nationalencyklopedin (svenskt uppslagsverk).
Är negativa tal heltal?
Ja. Heltal är de naturliga talen samt deras negativa motsvarigheter, och mängden betecknas ℤ, enligt Matteboken (gymnasiet, talmängder).
Är alla heltal naturliga tal?
Nej. Alla naturliga tal är heltal, men de negativa talen ingår inte i de naturliga talen, enligt Eddler (skolresurs).
Är ett bråktal ett heltal?
Inte alltid. Ett bråk blir ett heltal först när täljaren delas jämnt av nämnaren, till exempel 6/3 = 2. Matteguiden (läroboksguide) beskriver heltal som tal utan decimaler.
Vad betyder symbolen ℤ för heltal?
ℤ är symbolen för mängden av heltal. Enligt Matweb.cz (matematikordlista) kommer symbolen från tyskans Zahlen.
Relaterade artiklar
Erik Vinter är senior reporter på Samtidsmagasinet och bevakar dagliga kultur- och nöjesnyheter.